사회후생함수(社會厚生函數, Social Welfare Function)는 사회 구성원 개개인의 효용이나 경제적 만족도를 종합하여 사회 전체의 후생 수준을 나타내는 함수다. 경제학에서 후생(Welfare)은 개인이 누리는 경제적 만족이나 삶의 질을 의미하며, 사회후생은 이러한 개인들의 후생을 사회 전체의 관점에서 평가한 개념이다. 사회후생함수는 정부가 조세, 복지, 소득 재분배, 공공재 공급 등 다양한 경제정책을 결정할 때 사회 전체의 이익이 얼마나 증대되는지를 판단하는 이론적 기준으로 활용된다.

사회후생함수는 일반적으로 개인들의 효용을 변수로 하여 다음과 같이 표현한다.

\(
W=W(U_1,U_2,\cdots,U_n)
\)

여기서 W는 사회 전체의 후생 수준을 나타내는 사회후생함수이고, \(U_1,U_2,\cdots,U_n\)은 각각 사회 구성원들의 효용을 의미한다. 즉, 사회후생함수는 개인별 효용을 어떤 기준과 방식으로 종합하느냐에 따라 사회 전체의 후생 수준을 다르게 평가한다.

대표적인 사회후생함수로는 공리주의적 사회후생함수(Utilitarian Social Welfare Function)가 있다. 이는 사회 구성원 전체의 효용을 합산하여 사회후생을 평가하는 방식이다. 수식으로는 다음과 같다.

\(
W=U_1+U_2+\cdots+U_n
\)

이 방식에서는 개인들의 효용 합계가 클수록 사회 전체의 후생이 높다고 판단한다. 예를 들어 A 사회의 두 구성원이 각각 80과 20의 효용을 얻고, B 사회의 두 구성원이 각각 50과 50의 효용을 얻는다면 두 사회의 총효용은 모두 100이다. 따라서 공리주의적 관점에서는 두 사회의 후생이 동일하다고 평가한다. 다만 개인 간 소득이나 효용의 불평등을 충분히 반영하지 못한다는 한계가 있다.

반면 롤스주의적 사회후생함수(Rawlsian Social Welfare Function)는 사회에서 가장 낮은 효용을 가진 사람의 후생을 기준으로 사회 전체의 후생을 평가한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

\(
W=\min(U_1,U_2,\cdots,U_n)
\)

이 방식은 사회에서 가장 불리한 위치에 있는 사람의 후생이 개선될 때 사회 전체의 후생도 높아진다고 본다. 앞의 예에서 A 사회의 최저 효용은 20이고 B 사회의 최저 효용은 50이므로, 롤스주의적 관점에서는 B 사회의 후생이 더 높다고 평가한다. 이는 사회적 약자 보호와 소득 재분배의 중요성을 강조하는 접근이다.

사회후생함수는 경제적 효율성과 형평성을 함께 고려하는 데 중요한 역할을 한다. 효율성은 제한된 자원을 얼마나 효과적으로 활용하는지를 의미하고, 형평성은 사회 구성원 사이에 자원과 소득이 얼마나 공정하게 분배되는지를 의미한다. 두 가치는 때로 충돌할 수 있기 때문에 사회후생함수는 어떤 가치를 더 중요하게 평가하느냐에 따라 서로 다른 정책적 판단을 내릴 수 있다.

다만 사회후생함수는 개인의 효용을 사회 전체의 기준으로 통합해야 한다는 점에서 가치판단의 문제를 포함한다. 개인별 효용을 객관적으로 측정하거나 서로 비교하기 어렵고, 어떤 사람의 효용을 얼마나 중요하게 반영할 것인지에 대해서도 사회적 합의가 필요하다. 이러한 문제는 앞서 살펴본 애로우의 불가능성 정리와도 연결된다. 결국 사회후생함수는 사회 전체의 경제적 만족을 평가하는 유용한 분석 도구이지만, 그 구체적인 형태에는 사회가 추구하는 가치와 분배 원칙이 반영된다.